The interplay of broken translation symmetry due to the edge and the particular properties of the edge states is illustrated considering the simple square lattice. In the case of the most symmetric edge (when its direction coincides with the primitive translation vector) the translation along the edge symmetry enables to transform the two-dimensional (2D) tight-binding method equations into a more simple 1D eigenvalue problem. When the direction of the edge does not coincide with the primitive vector, the above-mentioned symmetry is broken. Nevertheless it can be partially restored enlarging the primitive cell and the number of wave function components, what enables to obtain the above-mentioned effective 1D problem. It is shown that the exact solution of the 1D problem can be obtained by means of the Bethe Ansatz method what was checked by the numerical diagonalization. Using the proposed technique the properties of the edge states were considered. It was shown that there are two reasons for the edge states to appear: the local potential of the edge sites and the modification of the tunnelling amplitudes along the edge. In the case of the most symmetric edge only the second one can lead to the edge state energy dependence differing from the one of the bottom of the continuous band. While in the case of the tilted edge the electron motion along the edge infuences significantly the spectrum of the edge state.

Keywords: square lattice, tilted edge, Bethe Ansatz
PACS: 73.20.-r, 73.22.-f, 73.90.+f

TRANSLIACINĖ KRAŠTINĖS BŪSENOS SIMETRIJA
A. Matulis^a,b
aFizinių ir technologijos mokslų centro Puslaidininkių fizikos institutas, Vilnius, Lietuva
^bVilniaus universiteto Teorinės fizikos ir astronomijos institutas, Vilnius, Lietuva

Pasinaudojus paprasčiausiu dvimatės (2D) kvadratinės gardelės modeliu ir stipraus ryšio modelio lygtimis, pailiustruota konkurencija tarp gardelės krašto ir transliacinės simetrijos. Kraštas visada sulaužo transliaciją statmena jam kryptimi ir tuo gerokai apsunkina analizinių sprendimų paiešką. Didžiausios simetrijos krašto atveju (kada jo kryptis sutampa su vienu iš primityvių transliacijos vektorių) transliacija išilgai krašto išlieka, tai įgalina redukuoti 2D gardelės tikrinių verčių uždavinį į 1D grandinėlės uždavinį. Įstrižo krašto atveju, kai jo kryptis nesutampa nei su vienu iš tų transliacijos vektorių, kraštas sugadina transliacijas abejomis kryptimis. Parodoma, kad transliacijos simetrija gali būti iš dalies atstatyta pasirenkant didesnį primityvųjį narvelį ir kitus transliacijos vektorius. Tai įgalina (kaip ir anksčiau) redukuoti uždavinį į 1D, nors ir padidėja elektrono banginės funkcijos komponenčių skaičius, o dėl sumažėjusios Brijueno zonos atsiranda papildomos energijos šakos. Parodoma, kad gauti 1D uždaviniai gali būti išspręsti Bethe Ansatz metodu skaitmeniškai patikrinant gautus rezultatus. Panaudojant pasiūlyta skaičiavimo technika išnagrinėtos pagrindinės kraštinių būsenų savybės. Parodyta, kad yra dvi priežastys, lemiančios tos būsenos atsiradimą. Viena jų – skirtingas lokalinis kraštinių gardelės mazgų potencialas; antroji – dinaminė, atsirandanti dėl modifikuoto elektrono tuneliavimo efektyvumo išilgai krašto. Jeigu didžiausios simetrijos krašto atveju tik antroji lemia skirtingą tolydinės juostos minimumo kraštinės būsenos energijos priklausomybę nuo elektrono impulso išilgai krašto, tai įstrižas kraštas gerokai sumaišo tų dviejų priežasčių vaidmenį, lemdamas didesnę išilginio elektrono judėjimo įtaką kraštinės būsenos spektrui.

References / Nuorodos

[1] A.H. Castro Neto, F. Guinea, N.M.R. Peres, K.S. Novoselov, and A.K. Geim, The eletronic properties of graphene, Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009),
http://dx.doi.org/10.1103/RevModPhys.81.109
[2] K. Wakabayashi, K. Sasaki, T. Nakanishi, and T. Enoki, Electronic states of graphene nanoribbons and analytical solutions, Sci. Technol. Adv. Mater. 11, 054504 (2010),
http://dx.doi.org/ 10.1088/1468-6996/11/5/054504
[3] C.I. Kane and E.J. Male, Z ₂ topological order and the quantum spin Hall effect, Phys. Rev. Lett. 95, 146802 (2005),
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.95.146802
[4] M. Fujita, K. Wakabayashi, K. Nakada, and K. Kusakabe, Peculiar loalized state at zigzag graphite edge, J. Phys. Soc. Jpn. 65, 1920 (1996),
http://dx.doi.org/10.1143/JPSJ.65.1920
[5] K. Imura, A. Yamakage, S. Mao, A. Hotta, and Y. Kuramoto, Zigzag edge modes in a Z₂ topological insulator: Reentrance and completely flat spectrum, Phys. Rev. B 82, 085118 (2010),
http://dx.doi.org/ 10.1103/PhysRevB.82.085118
[6] H. Bethe, Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette, Z. Phys. 71 , 205 (1931),
http://dx.doi.org/10.1007/BF01341708
[7] D.R. Hofstadder, Energy levels and wave functions of Bloch eletrons in rational and irrational magnetic fields, Phys. Rev. B 14, 2239 (1976),
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.14.2239
[8] G. Kiršanskas and A. Matulis, Persistent currents and Bethe Ansatz, Acta Phys. Pol. A 119, 158 (2011),
http://przyrbwn.icm.edu.pl/APP/PDF/119/a119z2p20.pdf